El Principio de Wardrop

    En 1952, el ingeniero John G. Wardrop formuló dos principios sobre cómo se distribuye el tráfico en una red vial congestionada. Este principio es muy usado hoy en día y es la base de muchos estudios de flujo vehicular. Los aportes de J. Wardrop en la ingeniería de tránsito son tan importantes que es reconocido como uno de los investigadores más relevantes de la historia en lo referente a la ingeniería de tránsito.

• Primer principio (Equilibrio del Usuario – UE): los tiempos de viaje en todas las rutas utilizadas entre un mismo origen y destino son iguales, y ningún conductor puede mejorar su propio tiempo cambiando de ruta.
• Segundo principio (Óptimo del Sistema – SO): la asignación del tráfico debería minimizar el tiempo total de viaje (o costo total) del sistema; es decir, buscar el mejor de todos, no el mejor para cada quien.

En la práctica, los actuales modelos de asignación de tráfico incorporan ambos enfoques: uno basado en decisiones individuales (UE) y otro en la eficiencia social (SO).

¿Por qué es importante en transporte y tránsito?

Permite simular cómo se distribuye el flujo vehicular y entender cuándo los conductores actúan de forma egoísta o colaborativa. Explica por qué a veces el equilibrio individual no es eficiente globalmente: el famoso dilema del viajero.

Es la base para diseñar políticas como tarifas viales, peajes o incentivos que alineen el comportamiento individual con el óptimo social. En el equilibrio del usuario se busca que ningún conductor mejore su tiempo cambiando de ruta. Este equilibrio se obtiene resolviendo ecuaciones de igualdad entre tiempos de viaje.

En el óptimo del sistema, sin embargo, la optimización considera minimizar la suma de los costos marginales de todos los usuarios. Técnicamente, se minimiza la suma de las áreas bajo las curvas de costo flujo-demora, es decir, integrales de la forma que se ve en la siguiente ecuación para cada tramo i.

$$\int^{V_i}_{0}t_1(v)dv$$

Estas integrales representan el costo acumulado que genera cada flujo vehicular mientras aumenta, y su minimización conduce a la asignación socialmente óptima.

Vamos a recrear un ejemplo clásico: imagina que tenemos una misma red con dos rutas.

| Ruta | Capacidad C_i (veh/h) | Tiempo libre t_{0_i} (min) | Parámetros a, b |

|------|-------------|------------|---------|

| A    | 1000        | 15      | a=0.15, b=4  |

| B    | 3000        | 20    | a=0.15, b=4  |

Considerando una demanda total de: 800 vehículos por hora

Recordando la ecuación fundamental del tránsito, tendríamos las siguientes funciones de tiempo de congestión.

$$t_a(V_a)=15 \Bigg(1+0.15 \Bigg( \frac{V_a}{1000} \Bigg)^4 \Bigg)$$

$$t_b(V_a)=20 \Bigg(1+0.15 \Bigg( \frac{V_b}{3000} \Bigg)^4 \Bigg)$$

y la restricción:

$$V_a+V_b=8000$$

Para el equilibrio del usuario (UE), imponemos igualdad entre tiempos:

$$15 \Bigg(1+0.15 \bigg( \frac{V_a}{1000} \Bigg)^4 \Bigg)=20 \Bigg(1+0.15 \Bigg( \frac{V_b}{3000} \Bigg)^4 \Bigg)$$

Al resolver esa ecuación se obtiene aproximadamente:

$$V_a \approx 2152 \frac{ \text{veh}}{ \text{h}}$$

$$V_b \approx 5848 \frac{ \text{veh}}{ \text{h}}$$

Y el tiempo común de viaje alrededor de 63 minutos.

Esto es equilibrar decisiones individuales: todos usan rutas con mismo tiempo, nadie mejora cambiando.

Para el óptimo del usuario (SO), minimizamos la función objetivo:

$$min_{V_a, V_b} \int^{V_a}_{0}t_a(v)dv+ \int^{V_b}_{0}t_{b}(v)dv$$

sujeto a:

$$V_a+V_b=8000$$

La clave está en entender esas integrales: si expandes $t_a(v)$, cada área representa el costo acumulado al meter más vehículos. El cálculo requiere derivar y aplicar condiciones de optimización (Lagrange o derivada marginal).

Cuando haces esa optimización, típicamente obtienes asignaciones diferentes a las del UE (menor congestión total) y menor tiempo promedio por usuario.

La verdad es que muchas veces el UE se obtiene resolviendo la igualdad de tiempos (fácil), mientras que el SO usa derivadas e integrales —que pueden intimidar pero en esencia son formas de medir costo total y marginal.

¿Qué significan estas áreas?

• La curva t_i(V_i) muestra cómo crece el tiempo por vehículo conforme se incrementa el flujo.
• Su integral desde 0 hasta V_i da el costo total que ese tramo le impone al sistema.
• Minimizar la suma de tales integrales hace el sistema más eficiente globalmente.
• Si lo ves con atención, el UE sólo iguala tiempos en las rutas sin considerar esta acumulación total.

En la práctica… ¿qué uso tiene todo esto?

• Permite simular con software especializado cómo se comporta el flujo vehicular: ¿quién debe ir por dónde?
• Identifica cuándo el equilibrio individual produce congestión mayor que el óptimo social.
• Da bases cuantitativas para implementar peajes, controles de acceso o políticas tarifarias que empujan al sistema hacia el óptimo social.

    Héctor.