Distribución de Gumbel aplicado al transporte urbano

    La distribución de Gumbel, también conocida como la distribución del valor extremo tipo I, es una herramienta muy buena para modelar eventos extremos en diversos campos, incluyendo el análisis de transporte urbano. Aquí voy a mostrarte algunas maneras en que la distribución de Gumbel puede ser utilizada para analizar eventos extremos en el contexto del transporte urbano.

Aplicaciones de la distribución de Gumbel

• Análisis de tiempos de viaje extremos: La distribución de Gumbel puede ser utilizada para modelar los tiempos de viaje extremos en el transporte urbano, como aquellos que se experimentan durante las horas pico o en condiciones de tráfico congestionado. Al comprender la probabilidad de que ocurran estos tiempos de viaje extremos, un ingeniero en transporte puede desarrollar estrategias para mitigar su impacto en los usuarios del transporte público.
• Análisis de demanda extrema: En el transporte urbano, la demanda puede experimentar fluctuaciones significativas, con picos repentinos durante eventos especiales o situaciones de emergencia. La distribución de Gumbel puede ser utilizada para modelar estos eventos extremos de demanda, permitiendo a las autoridades tomar medidas proactivas para garantizar la disponibilidad de recursos y la capacidad del sistema de transporte.
• Análisis de la capacidad de la infraestructura: También puede ser aplicada para evaluar la capacidad de la infraestructura de transporte urbano ante eventos extremos de congestión, como atascos de tráfico de gran magnitud o estaciones de transporte público abarrotadas durante las horas pico. Esta información puede ser utilizada para optimizar la infraestructura existente y planificar futuras inversiones.
• Estimación de riesgos y seguridad: La distribución de Gumbel puede ser utilizada para analizar eventos extremos relacionados con la seguridad en el transporte urbano, como accidentes graves o interrupciones significativas en el servicio. Al comprender la probabilidad de que ocurran estos eventos, las autoridades pueden implementar medidas para prevenirlos o mitigar sus consecuencias.
• Planificación de emergencia y resiliencia: La comprensión de la distribución de eventos extremos en el transporte urbano permite a las autoridades e ingenieros desarrollar estrategias de emergencia y aumentar la resiliencia de la infraestructura y los sistemas de transporte. Esto puede incluir la implementación de planes de respuesta a emergencias, la diversificación de las opciones de transporte y la inversión en tecnologías resilientes.

¿Y cómo aplico la distribución de Gumbel?

Para aplicar la distribución de Gumbel en el análisis de eventos extremos en el transporte urbano, se requiere la recopilación de datos históricos relevantes sobre estos eventos. Estos datos pueden incluir información sobre tiempos de viaje, demanda, congestión, accidentes, interrupciones del servicio, entre otros. Posteriormente, se ajusta la distribución de Gumbel a los datos utilizando métodos estadísticos, como el método de máxima verosimilitud, para estimar los parámetros de la distribución. Una vez ajustada la distribución, se puede utilizar para realizar predicciones sobre la probabilidad de ocurrencia de eventos extremos futuros y tomar decisiones informadas en la planificación y gestión del transporte urbano.

Veamos un ejemplo sencillo de un análisis de probabilidad de atascos de tráfico simulando algunos datos:

Aquí analizaremos la probabilidad de que ocurran atascos de tráfico extremadamente largos en una ciudad específica, utilizando datos históricos sobre la duración de los atascos durante las horas pico. Para ello, se ajusta una distribución de Gumbel a los datos disponibles y se realizan predicciones sobre la probabilidad de congestión vehicular extrema en el futuro.

Metodología

• Recopilación de datos: Se recopilan datos históricos sobre la duración de los atascos de tráfico en minutos durante las horas pico en una ciudad durante un período de varios años. Estos datos pueden provenir de diversas fuentes, como sensores de tráfico, aforos completos o informes de las autoridades locales como INEGI.
• Ajuste de la distribución de Gumbel: Se utiliza la distribución de Gumbel, también conocida como la distribución del valor extremo tipo I, para modelar la probabilidad de que ocurran atascos de tráfico extremadamente largos. La distribución de Gumbel se ajusta a los datos históricos mediante métodos estadísticos, como el método de máxima verosimilitud.
• Análisis y predicción: Una vez ajustada la distribución de Gumbel, se puede utilizar para realizar diversas análisis. En este caso, se calcula la probabilidad de que ocurra un atasco de tráfico extremadamente largo, definido como un atasco con una duración superior a 80 minutos.
• Visualización: Se utiliza un gráfico para visualizar el histograma de los datos históricos de congestión de tráfico junto con la distribución de Gumbel ajustada. Esto permite observar la distribución de los datos y la bondad del ajuste.

¿Cómo ajusto la distribución de Gumbel?

Método de máxima verosimilitud

La distribución de Gumbel se caracteriza por dos parámetros: la ubicación \mu y la escala \beta. La función de densidad de probabilidad de la distribución de Gumbel se define como:

$$f(x; \mu, \beta) = \frac{1}{\beta} \exp\left(-\frac{x - \mu}{\beta} - \exp\left(-\frac{x - \mu}{\beta}\right)\right)$$

El método de máxima verosimilitud busca estimar los valores de los parámetros \mu y \beta que maximizan la probabilidad de observar los datos dados la distribución de Gumbel. La verosimilitud se define como el producto de las probabilidades individuales de cada dato.

Para simplificar el proceso de optimización, se utiliza la log-verosimilitud, que es el logaritmo natural de la verosimilitud. La log-verosimilitud se define como:

$$L = \sum_{i=1}^{n} \log(f(x_i; \mu, \beta))$$

Se utilizan técnicas de optimización, como el método de Newton-Raphson, para encontrar los valores de \mu y \beta que maximizan la log-verosimilitud. Los valores estimados de \mu y \beta proporcionan información sobre la forma y la ubicación de la distribución de Gumbel ajustada a los datos. La ubicación \mu indica el valor central de la distribución, mientras que la escala \beta indica la dispersión de los datos alrededor del valor central.

Regresando al ejemplo anterior.

Una vez ajustada la distribución por el método antes mencionado, obtendríamos un grafico como el siguiente:

Aquí observamos un histograma de los datos históricos de congestión de tráfico, junto con la distribución de Gumbel ajustada a esos datos.

En el eje x del gráfico, tenemos la duración de los atascos de tráfico en minutos, mientras que en el eje y tenemos la densidad de probabilidad. El histograma de barras azules muestra la distribución de los datos históricos de congestión de tráfico, mientras que la línea roja representa la distribución de Gumbel ajustada a esos datos.

La distribución de Gumbel se ajusta a los datos históricos de congestión de tráfico para modelar la probabilidad de diferentes duraciones de atascos. En este caso, parece que la distribución de Gumbel ajustada se ajusta bien a los datos, ya que sigue de cerca la forma del histograma.

Además podríamos calcular la probabilidad de que ocurra un atasco de tráfico extremadamente largo (más de 80 minutos) utilizando la función de distribución acumulativa (CDF) de la distribución de Gumbel ajustada. En este ejemplo, la probabilidad de que ocurra un atasco de tráfico extremadamente largo es aproximadamente del 0.5%. Esto proporciona una estimación de la probabilidad de ocurrencia de eventos extremadamente largos de congestión de tráfico en la ciudad analizada.

La distribución de Gumbel es una herramienta valiosa para analizar eventos extremos en el transporte urbano. Al comprender la probabilidad de ocurrencia de estos eventos y su impacto en el sistema de transporte, el ingeniero en sistemas de transporte urbano puede tomar medidas para mitigar su impacto y mejorar la eficiencia, seguridad y resiliencia del transporte urbano.

Héctor