Optimización, desde el tamaño de una lata de refresco a la modelación de grandes ciudades
La optimización es una rama de las matemáticas que se dedica a encontrar los valores óptimos de las variables de un problema, sujeto a una serie de limitaciones o restricciones. El objetivo es encontrar el mejor valor posible para una función objetivo, que representa el beneficio, costo, utilidad, o cualquier otra métrica de interés del problema que se está analizando. En el área del transporte urbano se utiliza para mejorar la eficiencia y la calidad del transporte público. Esto implica encontrar soluciones que permitan reducir los costos, disminuir los tiempos de espera, incrementar el número de viajeros, y mejorar la accesibilidad y la seguridad para los usuarios.
Uno de los ejemplos más interesantes es el de las latas de refresco, si han notado, todas las latas tienen el mismo tamaño, esto se debe a que es un tamaño óptimo, maximizando la cantidad de líquido que puede contener y minimizando los costos de producción. Por ejemplo, si se supone que producir una lata más grande aumenta el costo de producción, la optimización matemática podría ayudar a determinar el tamaño de lata que maximiza el beneficio, teniendo en cuenta la tendencia del mercado en cuanto a tamaño y la cantidad que están dispuestos a pagar los consumidores. Una vez se determine el tamaño óptimo de la lata de refresco, la empresa podría producir el tamaño adecuado para maximizar su beneficio, teniendo en cuenta los costos y la demanda de los consumidores. Aquí les dejo un ejemplo básico del proceso de optimización de una lata de refresco.
Se debe determinar las medidas (radio y altura) mínimas de la lata para que contenga un cierto volumen. Para resolver este problema, se puede utilizar el cálculo diferencial. El primer paso es definir la función que se quiere optimizar. En este caso, la función sería el volumen de la lata. Si se asume que la lata es cilíndrica, entonces el volumen estaría dado por:
$$V=\pi r^2 h$$
Donde r es el radio de la lata y h es su altura.
El siguiente paso es encontrar la expresión para el volumen en términos de una sola variable. En este caso, se puede utilizar la relación entre el radio y la altura de la lata para obtener una expresión para el radio en términos de la altura:
$$r=\frac{k}{h}$$
Donde k es una constante que depende del tamaño de la lata.
Sustituyendo esta expresión para en la fórmula del volumen, se obtiene:
Esta es la función que se quiere optimizar.
El siguiente paso es encontrar los valores extremos de esta función. Para ello, se puede utilizar el cálculo diferencial. Se calcula la derivada de la función y se iguala a cero para encontrar los puntos críticos:
$$\frac{dV}{dh}= -\frac{\pi k^2}{h^2}=0$$
De esta ecuación se obtiene que: $$h=\sqrt{\pi k}$$ Sustituyendo este valor en la fórmula del volumen, se obtiene:
$$V=2 \pi k^3$$
Por lo tanto, el volumen máximo se obtiene cuando $$h= \sqrt{\pi k}$$ y $$r=\frac{k}{\sqrt{\pi}}$$
Como se puede observar, el proceso no es complejo, lo importante es tener la información necesaria para así obtener un cálculo más preciso, y si esta misma idea la aplicamos al área del transporte, podríamos realizar una optimización tomando en cuenta por ejemplo, maximizar el número de usuarios que viajan de un punto a otro y minimizar el número de transportes en una vía.
Algunas aplicaciones de la optimización en el transporte urbano son:
- Optimización de rutas: Consiste en encontrar la mejor ruta para los vehículos de transporte público, de forma que se reduzcan los tiempos de espera, se minimicen los trayectos de ida y vuelta (distance travelled), aumenten el número de pasajeros y se reduzcan los costos de operación.
- Ajuste de horarios: Consiste en establecer los horarios de los vehículos de transporte público, de forma que se reduzcan los tiempos de espera de los usuarios, y se minimice el tiempo que los buses pasan con bajos niveles de utilización.
- Optimización de paradas: Consiste en encontrar la mejor ubicación y cantidad de paradas de los vehículos de transporte público. Esto reduce los tiempos de espera de los usuarios, elimina paradas con pocos usuarios, y aumenta la eficiencia general del servicio.
- Planificación de flotas: Consiste en determinar el tamaño y la composición de la flota de transporte público necesaria para atender la demanda de una zona.
Se pueden utilizar algoritmos genéticos como dijkstra o PSO para optimizar las rutas del sistema de transporte urbano. También se pueden utilizar técnicas de planificación para conocer los problemas y diseñar soluciones que permitan optimizar los recursos y atender la demanda de movilidad. O bien, es posible utilizar métodos más especializados como SIMPLEX que normalmente deben resolverse con algún ordenador, ya sea programando en python por ejemplo, o con software especializado del cual hablaremos en otra ocasión.
Todas estas aplicaciones de la optimización en el transporte urbano, contribuyen a mejorar la calidad y eficiencia del servicio, a reducir los costos de operación, a disminuir los tiempos de espera de los usuarios, y a aumentar la satisfacción y la calidad de vida de la población urbana.
Héctor.
